Вычисление возмущенной орбиты Луны

Проблема трех тел

Вычисление возмущенной орбиты Луны — трудная задача; говорят, что она единственная вызывала затруднения даже у сэра Исаака. Частично это связано с тем, что нужно учитывать притяжение Луны не только Землей, но и Солнцем. Вслед за Ньютоном этой проблемой занялись великие практики небесной механики — французский математик Жан Лерон Д’Аламбер (17171783) и швейцарский астроном Леонард Эйлер (17071783), проработавший большую часть жизни в СанктПетербурге. Оба они пытались объяснить сложное движение Луны и связанные с ним изменения ориентации оси вращения Земли.

Прецессия земной оси происходит с периодом 26 ооо лет, и к тому же ось совершает небольшие колебания с периодом 18 лет, связанные с периодом затмений, саросом, упомянутым в главе 1. Эти колебания — их называют нутацией — были открыты Джеймсом Брадлеем в 1748 году. А через год Д’Аламбер опубликовал теорию нутации, основанную на Ньютоновой механике. Он сообщил результаты своей работы Эйлеру, который счел эту теорию трудной для чтения. Эйлер создал упрощенную версию теории Д’Аламбера, но по неизвестной причине не упомянул в этой работе имя самого Д’Аламбера. Это привело к разрыву отношений между двумя выдающимися учеными своего времени. Позже Эйлер извинился, но это не спасло положения.

Еще одной сложной задачей оказалось явление приливного трения.

Приливы служат причиной постепенного замедления вращения Земли. Вызывая приливы, Луна пытается затормозить вращение Земли до своего собственного орбитального периода, но это, в свою очередь, удлиняет орбитальный период Луны. В конце концов земные сутки и лунный месяц станут одинаковыми — 55 современных суток каждый. При этом Луна окажется гораздо дальше от Земли, чем сейчас. Но эти изменения происходят очень медленно. За прошедшие 400 млн лет наши сутки удлинились с 22 до 24 часов. Изменения подтверждаются слоистой структурой ископаемых раковин и кораллов, которую используют для подсчета количества дней и месяцев в году в период их жизни, так же как определяют возраст дерева по количеству колец на спиле его ствола. Кораллы за сутки наращивают один очень тонкий слой извести. Можно посчитать эти суточные линии роста. Их толщина меняется в течение года. Так что, имея хороший кусок коралла, можно вычислить, сколько суток
тельно простой задачи трех тел с очень массивным Солнцем, расположенным очень далеко от двух других тел. Запуская космический корабль в сторону Луны, мы вынуждены решать гораздо более сложную задачу трех тел при сравнимых расстояниях между ними: в каком направлении и с какой скоростью мы должны запустить маломассивный космический корабль из окрестности Земли, чтобы он попал на Луну по удобной орбите. В общей задаче трех тел, имеющих сравнимые массы и движущихся на сравнимых расстояниях друг от друга, орбиты становятся еще сложнее.

Время от времени два тела тесно сближаются, в то время как третье тело держится на расстоянии.

Сближения повторяются вновь и вновь, причем члены тесной пары меняются. И это продолжается вплоть до распада системы, когда одно из трех тел окончательно выбрасывается. После этого орбиты становятся простыми: остается двойная система с эллиптическими орбитами, а третье тело удаляется от этой двойной. Формы и размеры окончательных орбит можно посчитать статистическим методом, но что произойдет в каждом конкретном случае, удается определить только путем долгих и точных вычислений. Часто нам вполне достаточно статистического описания. Например, в звездном скоплении сближения трех тел случаются часто, поэтому интерес представляет только их статистический эффект.
Всего сто лет назад задача трех тел была совершенно не исследована. Существовало две школы с разными подходами. Следуя идее часового механизма Лапласа, можно было описать орбиты трех тел, если были известны начальные условия. Ярым приверженцем этой теории был финский астроном Карл Сундман (18731949), представивший в 1912 году решение задачи трех тел в виде математической формулы. Французский математик Анри Пуанкаре (18541912) полагал, что «может так получиться, что маленькое различие в начальных условиях приведет к большим расхождениям в окончательных результатах». Для задачи трех тел это означает, что существует детерминистический хаос: малое изменение начальных условий приводит к столь сильному различию в окончательной картине, что результатом становится непредсказуемый хаос.
К концу XIX века вопрос о решении задачи трех тел был поставлен шведским королем Оскаром II, который обещал денежную премию за ее окончательное решение. Пуанкаре получил премию после публикации работы «О задаче трех тел и уравнениях равновесия». В этой работе Пуанкаре пришел к пониманию того, что бесконечно сложное поведение может возникнуть в простых нелинейных системах1. Без компьютера, обладая только математической интуицией, он смог описать многие из основных характеристик детерминистического хаоса. Сам термин «хаос» стал использоваться гораздо позднее, и сейчас он служит основой при описании сложных систем в природе (например, ограничивает точность предсказаний метео-рологов).
В нелинейных системах изменение в состоянии системы зависит от ее текущего состояния. Например, у = кх + Ъ является линейным детерминистическим уравнением, у которого производная  не зависит от .V. Но простое квадратное уравнение у = кх*+Ь нелинейно: его производная  зависит от значения .
Однако нужно сказать, что и Сундман был отчасти прав. Если одно из трех тел всегда находится вдали от двух других, то можно предсказать их орбиты и даже написать математические формулы, описывающие их. Таким образом, задача трех тел показывает две стороны природных явлений: если известны начальные условия, то на каком-то уровне или при каких-то условиях явления предсказуемы, как и утверждал Лаплас; но на другом уровне и при других обстоятельствах эти же явления непредсказуемы.
Задача трех тел существенно упрощается, если одно из этих тел пренебрежимо мало по сравнению с двумя другими. Тогда два главных тела движутся по эллиптическим орбитам одно вокруг другого и не чувствуют влияния третьего тела. Остается лишь описать орбиту этого маленького тела.

 

Задача еще больше упрощается, если два главных тела движутся по круговым орбитам (ограниченная задача трех тел). Карл Якоби (18041851) сделал большой шаг в изучении этой проблемы. Его работа позволяет сразу же решить, какой тип орбит маленького тела возможен, а какой нет. Так как орбита Луны вокруг Земли практически круговая, то ограниченную задачу трех тел можно использовать для расчета движения ракеты, посланной на Луну. При путешествии к другим планетам сама планета и Солнце будут главными телами, а космический корабль будет третьим телом.