Открытие неевклидовых геометрий

Вплоть до XIX века не было понятно, что пятую аксиому мож­но заменить и создать другие системы, в которых геометрические связи будут отличаться от привычных. Среди многих возможностей было два наиболее интересных варианта: гиперболическую геоме­трию независимо друг от друга разработали Карл Фридрих Гаусс, Николай Иванович Лобачевский и Я нош Бойяи (рис 15 л), а автором сферической геометрии был Георг Риман. Этими двумя геометрия­ми, нарядл’ с евклидовой гыоской геометрией, исчерпываются все возможные описания Вселенной, которая однородна и изотропна, то есть — в которой все точки и направления равноправны. Поэтому все они очень важны для современной космологии.

Открытие неевклидовых геометрий

 

Русский ученый, профессор и ректор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский создал логически стройную гео­метрическую систему, в которой постулат параллельности Евклида был заменен другой аксиомой.

Через данную точку на плоскости можно провести бесконеч­ное число линий, которые не пересекаются сданной линией на плоскости.

Он называл эту систему «воображаемой геометрией» (или «пангеометрией») и полагал, что нет таких областей математики, кроме самых абстрактных, для которых в один прекрасный день не на­шлось бы применения в реальном мире. Гаусс, Бойяи н Лобачев­ский ничего не знали о работах друг друга. Но Лобачевский первым опубликовал статью о новой геометрии. Она появилась в 1829 году в «Казанском вестнике» на русском языке и осталась незамеченной. Пытаясь завоевать широкую известность, Лобачевский опубликовал свою статью в 1837 году на французском языке, затем в 1840 году на немецком, вновь в 1855 году на французском. Успешная работа Ло­бачевского привела к тому, что он стал ректором Казанского универ­ситета и даже был награжден Николаем I.

Но в 1846 году он вышел на пенсию (некоторые считают, что его уволили из университета), и лишь после смерти имя Лобачевского стали связывать с разработ­кой неевклидовой геометрии. Последнюю благодарность от прави­тельства Лобачевский получил за несколько месяцев до смерти за новый способ обработки шерсти.

В это же время, не зная о работе Лобачевского, венгр Бойяи «создал из ничего странный новый мир». Оба они — и Лобачев­ский, и Бойяи — пытались доказать пятый постулат, но со временем понимали, что решить эту задачу невозможно: Бойяи в 1823 году, а Лобачевский в 1826м. Отец Яноша, Фаркаш, друживший с Гаус­сом, и сам — известный математик, работал над той же проблемой. Когда он прочитал труд сына, то заставил Яноша опубликовать его, включив в виде 26страничного Дополнения в свою книгу, издан­ную в 1832 году.

Гаусс в письме к Фаркашу Бойяи одобрил труд сына, но заявил, что сам разработал ту же идею около 30 лет назад. Янош был сокру­шен письмом Гаусса. Он потерял приоритет и впоследствии никогда ничего не писал на эту тему. Гаусс придумал термин «неевклидова геометрия», но ничего не публиковал по ней, поскольку он «очень не хотел заниматься чемто таким, что навлекло бы на него крити­ку» — так он говорил в письме от 1829 года. В частном письме от 1824 года Гаусс сообщал: «Предположение, что (в треугольнике) сумма трех углов меньше 1800, ведет к любопытной геометрии, пол­ностью отличающейся от нашей, но совершенно последовательной, которую я разработал для собственного удовлетворения».

Открытие неевклидовых геометрий

 

Математические методы, необходимые для вычислений в не­евклидовой геометрии, разработал Риман. Эта область математики, которую со временем изучил даже Эйнштейн, называется сейчас тензорным исчислением. Тензоры — это сложные величины, напо­минающие векторы, которые используют для описания электриче­ских полей. Примером тензора служит тензор кривизны, который описывает, насколько искривлено пространство, то есть насколько оно отличается от евклидова пространства. В четырехмерном про­странстве тензор кривизны имеет 20 компонентов. Сравните это с вектором электрического поля, имеющим всего 3 компонента.

Еще в детстве Георг Риман (1826=1866) отличался выдающими­ся математическими способностями. К тому же он прилежно изучал Библию и в 1846 году, следуя отцовской воле, поступил в Гёттингенский университет на отделение теологии. Однако, посетив несколь­ко лекций по математике, он попросил отца разрешить ему заняться математикой. Отец был не против, и Риман начал учиться матема­тике, в том числе и у Гаусса.

Под руководством Гаусса он завершил диссертацию и был взят на работу в Гёггингенский университет для подготовки к профессорскому званию (то есть — в аспиранту­ру). По окончании подготовки он выступил с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», которая теперь среди матема­тиков считается классической работой. В ней обсуждается опреде­ление тензора кривизны и рассматривается вопрос о связи геоме­трии с миром, в котором мы живем. Какова размерность реального пространства и какой геометрией описывается наше пространство? Риман полагал, что само пространство может иметь измеряемые ха­рактеристики.

Эта лекция намного опередила свое время и не была оценена большинством ученых. Согласно общепринятому тогда мнению, которое разделял и Ньютон, пространство служит жестким фоном, относительно которого проводятся все изменения. В окружении Римана только Гаусс смог оценить глубину мысли юного математика. На собрании факультета он с большой похвалой отозвался о про­фессоре физики Вильгельме Вебере и хвалил за оригинальность ра­боту Римана.

    Похожие статьи из категории: Искривление пространства и времени
  • Искривление пространства ивремени

    Обычно мы представляем себе мировое пространство как нечто, напоминающее геометрию Евклида. И в самом деле, в рамках частной теории относительности пространственная часть четырехмер­ного пространства времени плоская, то есть евклидова. Сам […]

  • Гравитационные волны

    Одним из явлений, связанных с эластичностью пространства, являются гравитационные волны — небольшие изменения кривиз­ны пространства, распространяющиеся со скоростью света. Хотя американский физик Джозеф Вебер (1919-2000) еще в 1967 году утверждал, […]

  • Странные свойства черных дыр

    В нашем мире, как описывает его общая теория относительно­сти, есть много странного; одно из самых удивительных — черная дыра. Если тело сжимается все сильнее и сильнее, то гравитация на его […]

  • Следствия общей теории относительности

    Зная геометрию пространства, можно вычислить орбиту тела, на которое не действует ничто кроме гравитации. Теперь мы не считаем гравитацию силой, а говорим о свободном движении. В плоском пространстве такое движение […]

  • Значение кривизны пространства

    Математик Вильям Клиффорд (1845-1879) переводил труды Римана на английский язык и в процессе этой работы был очарован идеями Римана о связи между физическими явлениями и геоме­трией. Он стал развивать эти […]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *